Warum ist 0.99999999999… = 1?

Eine ganz einfache Rechnung kann doch ganz schön verblüffend sein!

Angenommen wir haben ein Objekt mit der Grösse 1 und teilen dieses in 3 kleinere gleich grosse Stücke, so erhalten wir also 3 Stücke der Grösse (1/3). Wenn wir nun eines dieser Stücke nehmen und mit 3 multiplizieren, sollten wir wieder die Grösse 1 erhalten. Wirklich?

Bruchschreibweise:

(1/3) * 3 = 1
den
1/3 * 3/1 = 1

Nehmen wir doch mal die Dezimalschreibweise:


0.333333... * 3 = 0.999999...

Es scheint so als hätte unser Objekt beim Rechnen an Grösse verloren! Was ist geschehen? Ist also die Zahl 0.999999… (mit einer unendlichen Folge von Neunen) doch 1, somit einfach eine andere Schreibweise für die 1?

Versuchen wir es doch auf eine einfache Art zu beweisen:


Wenn 0.999999... = 1 dann:
0.999999... * 10 = 9.999999...

9.999999...
-0.999999...
-------------
9.000000...

Ergibt also das gleiche wie: 10 - 1 = 9

Eine weitere Möglichkeit ist die algebraische Schreibweise:

Wir definieren: 0.999999... = a

Jetzt führen wir die gleiche Rechnung wie im oberen Beispiel durch:
10a -a = 9
9a = 9
a = 1

Wenn wir nun den Wert einsetzen wofür a steht, erhalten wir:

0.999999... = 1

Somit ist also klar, dass 0.999999… nur eine weitere Schreibweise für die einzigartige natürliche Zahl Eins ist.

Weitere interessante Beispiele zu den Zahlen, findet man im Buch von Peter J. Bentley mit dem Titel “Das Buch der Zahlen”.

Nützliches