Warum ist 0.99999999999… = 1?

Last Updated on 20. August 2021 by Thomas J. Fehr

Eine ganz einfache Rechnung kann doch ganz schön verblüffend sein!

Angenommen wir haben ein Objekt mit der Grösse 1 und teilen dieses in 3 kleinere gleich grosse Stücke, so erhalten wir also 3 Stücke der Grösse (1/3). Wenn wir nun eines dieser Stücke nehmen und mit 3 multiplizieren, sollten wir wieder die Grösse 1 erhalten. Wirklich?

Bruchschreibweise:

(1/3) * 3 = 1
den
1/3 * 3/1 = 1

Nehmen wir doch mal die Dezimalschreibweise:


0.333333... * 3 = 0.999999...

Es scheint so als hätte unser Objekt beim Rechnen an Grösse verloren! Was ist geschehen? Ist also die Zahl 0.999999… (mit einer unendlichen Folge von Neunen) doch 1, somit einfach eine andere Schreibweise für die 1?

Versuchen wir es doch auf eine einfache Art zu beweisen:


Wenn 0.999999... = 1 dann:
0.999999... * 10 = 9.999999...

9.999999...
-0.999999...
-------------
9.000000...

Ergibt also das gleiche wie: 10 - 1 = 9

Eine weitere Möglichkeit ist die algebraische Schreibweise:

Wir definieren: 0.999999... = a

Jetzt führen wir die gleiche Rechnung wie im oberen Beispiel durch:
10a -a = 9
9a = 9
a = 1

Wenn wir nun den Wert einsetzen wofür a steht, erhalten wir:

0.999999... = 1

Somit ist also klar, dass 0.999999… nur eine weitere Schreibweise für die einzigartige natürliche Zahl Eins ist.

Weitere interessante Beispiele zu den Zahlen, findet man im Buch von Peter J. Bentley mit dem Titel “Das Buch der Zahlen”.

Nützliches

2 Gedanken zu „Warum ist 0.99999999999… = 1?“

  1. Ich habe einen Gegenbeweis,dass das nicht so ist.Wo kann man solche Mathematische Beweise einreichen ?.Übrigens noch eine kleine Bemerkung wenn 1,00….000 = 0,9999……9 ersetzen kann ,könnte ja bei Grenzwertrechnungen problemlos durch Null dividiert werden. Besten Dank für die Kenntnisnahme

    1. Hallo Sandro

      Ich kann dir nicht sagen, wo du solche Beweise einreichen kannst. :o) Aber ich denke, wenn du deinen Beweis mal online publizierst, wirst du sicher ein Feedback dazu erhalten!? Ich habe den Beitrag noch ergänzt mit 2 Interessanten youtube Links.

      En Gruess
      Thomas

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